Ein Ball wird mit der Geschwindigkeit \(v\ge0\) geworfen. In dem Moment, in dem er die Hand verlässt, befindet er sich auf der Höhe \(h\ge0\). Würden außer der Beschleunigung durch den Wurf keinerlei andere Kräfte auf den Ball wirken, so flöge er endlos geradeaus. Der Winkel zwischen dieser Geraden und dem Erdboden sei \(0\le\alpha\le\frac{\pi}{2}\).

Über Zeit \(t\ge0\) betrachtet, ist die Position des Balles in der komplexen Ebene \[\mathrm{e}^{i{\alpha}}\,v\,t+ih.\]

In der Nähe der Erdoberfläche beschleunigt die Schwerkraft jeden Körper mit \(g=9{,}81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2\) in Richtung des Erdmittelpunktes. Beschleunigung ist die zweite Ableitung des Ortsvektors über Zeit, also beschreibt \[\iint{}g\,\textrm{dt}\,\textrm{dt}\;=\;\frac{1}{2}\,g\,t^{2}\] die Position eines Objektes im freien Fall. Die Flugbahn eines geworfenen Balles ist damit (näherungsweise) die Summe dieser beiden Kräfte:

\[r(t)\;=\;\textrm{e}^{i{\alpha}}\,v\,t+i\left(h-\frac{g}{2}\,{t}^{2}\right).\]

Der reale und der imaginäre Teil dieses Ausdrucks entsprechen den (x,y)-Koordinaten des Balles zur Zeit \(t\):

\(x(t)\)	\(=\)	\(\cos\left(\alpha\right)\,t\,v\)
\(y(t)\)	\(=\)	\(\sin\left(\alpha\right)\,t\,v+h-\frac{g}{2}\,t^2.\)

Von besonderem Interesse ist der Moment \(y(t)=0\), in dem der Ball auf den Boden aufschlägt:

\[t\;=\;\frac{1}{g}\,\left(\sqrt{{\sin\left(\alpha\right)}^{2}\,{v}^{2}+2\,g\,h}+\sin\left(\alpha\right)\,v\right).\]

Dieses \(t\) entspricht der Dauer des Fluges, und in \(x(t)\) eingesetzt folgt daraus die insgesamt zurückgelegte Distanz.

Welcher Abwurfwinkel α ist nun ideal, um eine möglichst große Weite zu erzielen? Das folgende Diagramm veranschaulichen die Situation anhand eines Balles, der dreimal mit denselben \(v\) und \(h\) geworfen wird, aber α variiert:

Über den optimalen Abwurfwinkel gibt die Ableitung \(\frac{\text{d}}{\text{d}\alpha}\,x(t)\) Auskunft, denn für feste \(v\) und \(h\) nimmt \(x(t)\) nimmt seinen Extremwert an, wenn das gewählte α eine Nullstelle dieser Ableitung ist:

\[\alpha=\arcsin\left(\frac{v}{\sqrt{2}\,\sqrt{v^{2}+g\,h}}\right).\]

Die Grenzwerte von α für \(h\) und \(v\) lauten jeweils:

\(\lim_{h\to0} \alpha\)	\(=\)	\(\frac{\pi}{4}\)
\(\lim_{v\to0} \alpha\)	\(=\)	\(0\)
\(\lim_{h\to\infty} \alpha\)	\(=\)	\(0\)
\(\lim_{v\to\infty} \alpha\)	\(=\)	\(\frac{\pi}{4}\)

Offenbar ist es nicht optimal, einen Ball in einem Winkel größer als 45° abzuwerfen, wenn die maximale Weite erzielt werden soll.

Für einen Wurf mit \(v=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}\) und \(h=1{,}65\,\mathrm{m}\) ist der optimale Abwurfwinkel \(\alpha\approx40{,}99^\circ\). Es wird eine Weite von 11,73 m erzielt. Wird der Ball stattdessen mit \(v=25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}\) geworfen, dann fliegt er 64,93 m weit. Wird der Abwurfwinkel dann noch auf die optimale Größe \(\alpha\approx44{,}27^\circ\) korrigiert, so erreicht der Ball die größtmögliche Weite von 65,34 m.