cryp.to/ Flugbahnen unter Einfluss der Schwerkraft

Ein Ball wird mit der Geschwindigkeit v ≥ 0 geworfen. In dem Moment, in dem er die Hand verlässt, befindet er sich auf der Höhe h ≥ 0. Würden außer der Beschleunigung durch den Wurf keinerlei andere Kräfte auf den Ball wirken, so würde er endlos geradeaus fliegen. Der Winkel zwischen dieser Geraden und dem Erdboden sei 0 ≤ α ≤ π/2.

Über Zeit t ≥ 0 betrachtet, ist die Position des Balles in der komplexen Ebene

\textrm{e}^{i{\alpha}}\,v\,t+ih.

In der Nähe der Erdoberfläche beschleunigt die Schwerkraft jeden Körper mit g=9,81 m/s² in Richtung des Erdmittelpunktes. Beschleunigung ist die zweite Ableitung des Ortsvektors über Zeit, also beschreibt

\iint{}g\,\textrm{dt}\,\textrm{dt} \;=\; \frac{1}{2}\,g\,t^{2}

die Position eines Objektes im freien Fall. Die Flugbahn eines geworfenen Balles ist damit (näherungsweise) die Summe dieser beiden Kräfte:

r(t)\;=\;\textrm{e}^{i{\alpha}}\,v\,t+i\left(h-\frac{g}{2}\,{t}^{2}\right).

Der reale und der imaginäre Teil dieses Ausdrucks entsprechen den (x,y)-Koordinaten des Balles zur Zeit t:

x(t)\;=\cos\left(\alpha\right)\,t\,v\,

y(t)\;=\sin\left(\alpha\right)\,t\,v+h-\frac{g}{2}\,t^2.

Von besonderem Interesse ist der Moment y(t)=0, in dem der Ball auf den Boden aufschlägt:

t\;=\;\frac{1}{g}\,\left(\sqrt{{\sin\left(\alpha\right)}^{2}\,{v}^{2}+2\,g\,h}+\sin\left(\alpha\right)\,v\right).

Dieses t entspricht der Dauer des Fluges, und in x(t) eingesetzt folgt daraus die insgesamt zurückgelegte Distanz.

Welcher Abwurfwinkel α ist nun ideal, um eine möglichst große Weite zu erzielen? Das folgende Diagramm veranschaulichen die Situation anhand eines Balles, der dreimal mit denselben v und h geworfen wird, aber α variiert:

Über den optimalen Abwurfwinkel gibt die Ableitung \frac{\text{d}}{\text{d}\alpha}\,x(t) Auskunft, denn für feste v und h nimmt x(t) nimmt seinen Extremwert an, wenn das gewählte α eine Nullstelle dieser Ableitung ist:

\alpha=\arcsin\left(\frac{v}{\sqrt{2}\,\sqrt{v^{2}+g\,h}}\right).

Die Grenzwerte von α für h und v lauten jeweils:

\lim_{h\to0} \alpha \;=\; \frac{\pi}{4}, \lim_{v\to0} \alpha \;=\; 0,
\lim_{h\to\infty} \alpha \;=\; 0, \lim_{v\to\infty} \alpha \;=\; \frac{\pi}{4}.

Offenbar ist es nicht optimal, einen Ball in einem Winkel größer als 45° abzuwerfen, wenn die maximale Weite erzielt werden soll.

Für einen Wurf mit v=10 m/s und h=1,65 m ist der optimale Abwurfwinkel α≈40,99°. Es wird eine Weite von 11,73 m erzielt. Wird der Ball stattdessen mit v=25 m/s geworfen, dann fliegt er 64,93 m weit. Wird der Abwurfwinkel dann noch auf die optimale Größe α≈44,27° korrigiert, so erreicht der Ball die größtmögliche Weite von 65,34 m.