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[cryp.to.git] / bremsen-oder-drumherumfahren.mdwn
1 [[!meta title="Bremsen oder Drumherumfahren?"]]
2 [[!tag physik]]
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4 ## Die Frage
5
6 Ein Auto fährt mit $v$ Metern pro Sekunde geradeaus, und der Fahrer
7 träumt, anstatt auf die Fahrbahn zu achten. Plötzlich fällt ihm auf,
8 dass er frontal auf eine Mauer zu fährt. Die Straße gabelt sich vor der
9 Mauer rechtwinklig nach links und rechts. Um der Mauer zu entgehen, kann
10 der Fahrer entweder bremsen, oder er kann versuchen, eine
11 90°-Grad-Kurve zu fahren. Welche Wahl ist besser?
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13 ## Die Vollbremsung
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15 Die Masseträgheit bewegt das Auto $v$ Meter pro Sekunde nach vorne --- auf
16 die Mauer zu. Eine Vollbremsung beschleunigt das Fahrzeug entgegen der
17 Fahrtrichtung mit $a$ Metern pro Quadratsekunde. Zu einem Zeitpunkt $t$
18 ist die ursprüngliche Geschwindigkeit deswegen um $at$ Meter pro Sekunde
19 reduziert: $$v(t)=v-at.$$
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21 Die Vollbremsung ist in dem Moment $t_0$ abgeschlossen, in dem
22 $v(t_0)=0$ gilt, nämlich $t_0=\frac{v}{a}.$ So lange dauert es,
23 Stillstand zu erreichen.
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25 Geschwindigkeit bedeutet Veränderung des Orts über Zeit, daher bestimmt
26 $$r(t)\;=\;\int{}v(t)\,\text{d}t\;=\;vt-\frac{1}{2}at^2$$ welche Distanz
27 der Wagen zu einem Zeitpunkt $t$ zurückgelegt hat. Von besonderem
28 Interesse ist die Entfernung, nach der das Auto zum Stillstand kommt ---
29 der Bremsweg:
30
31 $$r(t_0)=\frac{v^2}{2a}.$$
32
33 Bei einer Geschwindigkeit von 100 Stundenkilometern liegen tatsächlich
34 gemessenen Bremswege verschiedener Auto-Typen zwischen 33 und 53 Metern.
35 Die besten Werte erzielen erwartungsgemäß Sportwagen. Dies entspricht
36 einer mittleren Brems-Beschleunigung zwischen 7,28 und 11,69 Metern pro
37 Quadratsekunde. Nähme man diese Extremwerte zum Maßstab, dann ergäben
38 sich beispielsweise folgende Bremswege für die jeweilige
39 Geschwindigkeit:
40
41 > <table border="1" cellspacing="5" cellpadding="5">
42 >   <tr align="center"> <td>km/h</td> <td>20</td>   <td>80</td>    <td>120</td>   <td>200</td> </tr>
43 >   <tr align="center"> <td>m</td>    <td>1,32</td> <td>21,12</td> <td>47,52</td> <td>123,0</td> </tr>
44 >   <tr align="center"> <td>m</td>    <td>2,12</td> <td>33,92</td> <td>76,32</td> <td>212,0</td> </tr>
45 > </table>
46
47 Wie man sieht, ist ein Sportwagen bei hohen Geschwindigkeiten also
48 durchaus eine feine Sache.
49
50 ## Die Kurve
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52 In einer Kurvenfahrt wird die Bewegung der Masseträgheit umgelenkt durch
53 eine Beschleunigung, die im rechten Winkel zur Bewegung wirkt. Die
54 Geschwindigkeit des Fahrzeugs ändert sich nicht --— $v$ ist konstant —--,
55 aber die Richtung der Bewegung ändert sich. Im Idealfall beschreibt das
56 Fahrzeug einen Viertelkreis mit Radius $R$, bis sich die Fahrtrichtung
57 durch konstantes Umlenken schließlich um 90&deg; gedreht hat. Diese
58 Umlenkung wird Querbeschleunigung genannt:
59
60 $$a = \frac{v^2}{R}.$$
61
62 Laut Wikipedia können übliche PKW Querbeschleunigungen zwischen 7 und 10
63 Meter pro Quadratsekunde vertragen, bevor sie die Zentrifugalkraft aus
64 der Kurve schmeißt. Nimmt man a=9,81 als Beispiel, so kann das
65 gegebene Fahrzeug bestenfalls Kurven mit jeweils folgenden Radien
66 fahren:
67
68 > <table border="1" cellspacing="5" cellpadding="5">
69 >   <tr align="center"> <td>km/h</td> <td>20</td>   <td>80</td>    <td>120</td>   <td>200</td> </tr>
70 >   <tr align="center"> <td>m</td>    <td>3,15</td> <td>50,34</td> <td>113,26</td> <td>314,62</td> </tr>
71 > </table>
72
73 Diese Werte bedeuten, dass das jeweilige Fahrzeug trotz perfekter
74 Kurvenfahrt immer noch eine Distanz $R$ nach vorne bewegt wird --- auf die
75 Mauer zu.
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77 ## Der Vergleich
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79 Um beide Strategien zu bewerten, vergleichen wir, wieviel Beschleunigung
80 jeweils aufgewendet werden muss, damit beide dasselbe Ergebnis erzielen.
81 Dies ist der Fall, wenn Bremsweg und Wendekreis-Radius gleich groß sind,
82 $r(t_0)=R$, also:
83
84 $$\frac{v^2}{2a_\text{B}} \,=\, \frac{v^2}{a_\text{Q}}.$$
85
86 Offenbar sind beide Strategien genau dann gleich gut, wenn das
87 gegebene Fahrzeuge doppelt so stark quer beschleunigen kann, wie es
88 bremsen kann. Dass ein realer PKW diese Eigenschaft haben könnte,
89 erscheint jedoch wenig plausibel. Es ist also aller Wahrscheinlichkeit
90 nach besser, eine Vollbremsung zu probieren.