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[cryp.to.git] / mittelparallele.mdwn
1 [[!meta title="Mittelparallele im Dreieck"]]
2 [[!tag geometrie]]
3
4 **Behauptung**: Verbindet man die Mittelpunkte zweier Dreiecksseiten
5 miteinander, so ist diese Strecke parallel zur dritten Dreiecksseite und
6 genau halb so lang wie diese.
7
8 [[!asymptote src="""
9 import geometry;
10 unitsize(1cm);
11 triangle t = triangle((0,0), (4,0), (0.5,2));
12 show(La="$D$", Lb="$E$", Lc="", t);
13 dot(t.A^^t.B^^t.C);
14 point pD = midpoint(t.BC); dot(pD);
15 point pE = midpoint(t.AC); dot(pE);
16 draw(pD--pE);
17 """]]
18
19 **Beweis**: Sei $\triangle{ABC}$ ein beliebiges Dreieck, und seinen $D$
20 und $E$ die jeweiligen Mittelpunkte der Dreiecksseiten $BC$ und $AC$
21 (ohne Beschränkung der Allgemeinheit). Durch Punktspiegelung an D erhält
22 man die Punkte $A\xrightarrow{P_D}A'$ und $E\xrightarrow{P_D}E'$. Dann
23 gilt $AC\parallel{}A'B$ und $|AC|=|A'B|$, und $D$ ist Mittelpunkt der
24 Strecke $EE'$.
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26 [[!asymptote src="""
27 import geometry;
28 unitsize(1cm);
29 triangle t = triangle((0,0), (4,0), (0.5,2));
30 show(La="$D$", Lb="$E$", Lc="", t);
31 dot(t.A^^t.B^^t.C);
32 point pD = midpoint(t.BC); dot(pD);
33 point pE = midpoint(t.AC); dot(pE);
34 draw(pD--pE);
35
36 point A_ = (pD-t.A)*2+t.A; dot("$A'$", A_, NE);
37 draw(t.B--A_--t.C, dashed);
38 draw(t.A--A_, dashed);
39
40 point E_ = midpoint(line(t.B,A_)); dot(Label("$E'$", E_, E));
41 draw(E_--pD, dashed);
42 """]]
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44 $E$ ist Mittelpunkt der Strecke $AC$, also ist $E'$ Mittelpunkt der
45 Bildstrecke $A'B$. Es existiert eine Verschiebung
46 $V_\overrightarrow{AE}$, die $A$ auf $E$ abbildet. Diese Verschiebung
47 muss dann auch $B$ auf $E'$ abbilden. Daraus folgt $AB\parallel{}EE'$
48 und $|AB|=|EE'|=2\cdot|ED|$, was zu zeigen war.