Warten im Schwimmbad

Kürzlich betrat ich das Schwimmbad, und stellte fest, dass alle Bahnen belegt waren. Ich musste also warten, bis einer dar anderen Schwimmer fertig wurde, bevor ich ins Wasser konnte. In dieser Zeit fragte ich mich: Wie lange wird das wohl dauern?

Sei daher X eine Zufallsgröße, die angibt, wie lange es dauern wird, bis ein Schwimmer fertig wird. Dann ist P(X=k) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Wert genau k Minuten beträgt. Nun hat das Schwimmbad n Bahnen -- es sind n Schwimmer im Wasser, die unabhängig voneinander X Minuten schwimmen. Sobald einer dieser Schwimmer fertig wird, wird eine Bahn frei. Die Zeit, die wir warten müssen, beträgt somit $\min\left\{X_1,X_2,\ldots,X_n\right\}$ Minuten. Darüber definieren wir die Zufallsgröße Y, die angibt, wie lange es dauert, bis einer der n Schwimmer fertig wird. P(Y=k) ist dann die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Wert genau k Minuten beträgt. Gesucht ist nun der Erwartungswert

$E(Y) \;=\; \sum_{k=0}^\infty{}k\,P(Y=k).$

Y=k gilt genau dann, wenn mindestens ein Schwimmer noch k Minuten im Wasser bleibt, und die restlichen n-1 Schwimmer bleiben mindestens k Minuten im Wasser. Es gilt daher

$P(Y=k) \;=\; \sum_{i=1}^n \, \binom{n}{i} \, P(X=k)^i \, P(X>k)^{n-i}.$

Um weiterzukommen müssen wir also irgendein sinnvolles Verhalten für X annehmen. Im einfachsten Falle könnte man sagen, dass jeder Schwimmer genau m Minuten im Wasser ist. Daraus würde

$P(X=k) \;=\; \frac{1}{m}$

und

$P(X>k) \;=\; \sum_{i=k+1}^m \, P(K=i) \;=\; \frac{m-k}{m}$

folgen, und wir hätten mit

$P(Y=k) \;=\; \frac{1}{m^{n}} \, {\sum_{i=1}^{n}\,{{n}\choose{i}}\,{\left(m-k\right)^{n-i}}}$

die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Wartezeit. Der gesuchte Erwartungswert lautet dann:

$E(Y) \;=\; \frac{1}{m^n} \, \sum_{k=1}^{m}{k\,\left(\sum_{i=1}^{n}\,{{n}\choose{i}}\,{\left(m-k\right)^{n-i}}\right)}.$

Für konkrete n und m lässt sich dieser Wert mit einer neumodischen Rechenmaschine leicht ermitteln. Angenommen, jeder Schwimmer bliebe 30 Minuten im Wasser und das Schwimmbad hätte 6 Bahnen, dann kann man erwarten, dass innerhalb von 4,8 Minuten eine Bahn frei wird! Wenn das Schwimmbad 12 Bahnen hätte, dann würde man im Mittel sogar nur 2,84 Minuten warten müssen.